A Complete Unknown speelt zich af in de invloedrijke muziekscene van New York in de vroege jaren 60 en volgt de opkomst van de 19-jarige muzikant Bob Dylan uit Minnesota (Timothée Chalamet) als folk-zanger naar de top van de hitlijsten. Zijn liedjes en mystiek worden een wereldwijde sensatie. Het hoogtepunt is zijn baanbrekende elektrische rock-'n-rolloptreden op het Newport Folk Festival in 1965.